评价类模型是数学建模中非常重要的一类模型，主要用于对方案、系统或对象进行评价、比较和排序。
常见评价类模型
主观赋权评价法
层次分析法(AHP)
是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
流程：
构建层次结构：目标层→准则层→方案层
构造判断矩阵：采用1-9标度法两两比较
计算权重：特征向量法/几何平均法
一致性检验：计算CI和CR（要求CR<0.1）
综合权重计算：各层级权重叠加
权重：判断矩阵中两个元素的重要性对比
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 系统性结构清晰，适合多准则决策 | ① 主观性强，依赖专家经验 |
| ② 能处理定性和定量结合的问题 | ② 指标过多时一致性检验难通过 |
| ③ 1-9标度法便于专家打分 | ③ 判断矩阵构建可能存在逻辑矛盾 |
模糊综合评价法
模糊综合评价的基本原理是从影响问题的诸因素出发，确定被评价对象从优到劣若干等级的评价集合和评价指标的权重，对各指标分别做出相应的模糊评价，确定隶属函数，形成模糊判断矩阵，将其与权重矩阵进行模糊运算，得到定量的综合评价结果。
学术论文中，采用层次分析和模糊综合评价相结合的方法对研究主题的评价指标体系构建并打分评估，因此因素集可直接采用层次分析法的各个指标因素。
流程：
- 确定因素集和评语集
- 构建隶属度矩阵（模糊关系矩阵）
- 确定权重向量
- 合成运算：常用M(∧,∨)或加权平均算子
- 去模糊化（如需精确结果）
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 擅长处理模糊性评价问题 | ① 隶属函数确定较主观 |
| ② 可结合语言变量（如”优/良/差”） | ② 可能丢失原始数据信息 |
| ③ 算子选择灵活（M(∧,∨)、加权平均等） | ③ 最大隶属度原则可能失效 |
主成分分析PCA
流程：
- 数据标准化：消除量纲影响
- 计算相关系数矩阵
- 求特征值和特征向量
- 确定主成分个数：累计贡献率≥85%
- 计算主成分得分：线性组合原始变量
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 消除指标间相关性 | ① 主成分物理意义不明确 |
| ② 客观性强，完全数据驱动 | ② 要求大样本数据（n>5p） |
| ③ 有效降低数据维度 | ③ 对非线性关系处理效果差 |
客观赋权评价法
熵权法
- 数据标准化
- 计算指标比重
- 计算信息熵
- 计算差异系数
- 确定权重
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 完全客观赋权 | ① 对极端值敏感 |
| ② 自动放大差异显著指标的权重 | ② 无法反映指标实际重要性 |
| ③ 计算简单易实现 | ③ 若数据无波动则失效 |
因子分析法
- 与PCA类似，但更注重解释变量间的潜在结构
| 对比项 | 因子分析（FA） | 主成分分析（PCA） |
|---|---|---|
| 目标 | 解释变量间的协方差结构 | 最大化方差解释 |
| 假设 | 存在潜在因子模型 | 无模型假设 |
| 输出 | 因子载荷矩阵、因子得分 | 主成分载荷、成分得分 |
| 旋转 | 通常需旋转（如方差最大化） | 无需旋转 |
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| 降维减少变量数量 | 需变量间存在相关性（否则无效） |
| 揭示潜在结构，增强解释性 | 因子命名依赖主观判断 |
| 可处理多重共线性问题 | 数据需满足一定假设（如KMO>0.6） |
| 适用于连续变量 | 对异常值敏感 |
组合评价法
- TOPSIS法(优劣解距离法)
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
- 构建决策矩阵并标准化
- 确定正理想解和负理想解
- 计算各方案到正负理想解的距离：
- 计算相对贴近度
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 直观反映与理想解的差距 | ① 权重需其他方法确定 |
| ② 适用于多属性排序问题 | ② 欧氏距离可能失真 |
| ③ 结果易于解释（0-1贴近度） | ③ 对异常值敏感 |
其他评价方法
数据包络分析(DEA)
是一种非参数效率评价方法，用于衡量具有多输入多输出的决策单元（DMU）的相对效率。它通过线性规划构建生产前沿面，无需预设生产函数形式，广泛应用于企业、银行、医院等组织的效率评估。
- 确定DMU（决策单元）
- 选择输入/输出指标
- 构建CCR/BCC模型：
- CCR模型（规模报酬不变）
- BCC模型（规模报酬可变）
- 求解线性规划：计算θ效率值
- 结果分析：有效性判断(θ=1有效)
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 无需预设生产函数形式 | ① 对指标数量有限制（2(m+s)≤n） |
| ② 可处理多输入多输出系统 | ② 无法区分有效DMU（θ=1的单元） |
| ③ 直接输出效率值（0-1） | ③ 易受极端值影响 |
灰色关联分析法
通过计算序列间的几何形状相似度（灰色关联度），衡量因素间的关联程度。核心思想是：
数据序列曲线的几何形状越接近，关联度越大
适用于”小样本、贫信息”的不确定性系统（无需典型分布规律）
要利用该方法，这个系统必须是灰色系统。灰色系统中灰的主要含义是信息不完全性（部分性）和非唯一性，其中的“非唯一性”是灰色系统的重要特征，非唯一性原理在决策上的体现是灰靶思想，即体现的是决策多目标、方法多途径，处理态度灵活机动。需要理想参照。
确定参考序列和比较序列参考序列（母序列）比较序列（子序列）
数据标准化处理：消除量纲影响，常用方法：均值化，初值化（适合时序数据），区间相对化。
计算关联系数
计算关联度
排序分析
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| ① 适合”小样本贫信息”系统 | ① 分辨系数ρ取值影响结果 |
| ② 计算量小，操作简单 | ② 对数据波动较敏感 |
| ③ 不需要典型分布规律 | ③ 关联度区分度可能不足 |
改进：
- 权重优化：
- 引入熵权法/AHP对指标赋权，改进等权假设
- 加权关联度
- 数据预处理改进：
- 采用对数标准化或Box-Cox变换处理非线性数据
- 分辨系数动态化：
- 根据数据离散程度自适应调整ρ值
BP神经网络评价法
BP神经网络（Back Propagation Neural Network）是一种基于误差反向传播算法的人工神经网络，可用于解决复杂的非线性评价问题。它通过模拟人脑神经元的连接方式，自动学习输入与输出之间的映射关系，适用于多指标、非线性、高维度的评价场景。
- 评价指标间存在非线性关系（如经济、生态、工程系统）
- 数据量大且维度高（如企业信用评估、医疗诊断）
- 传统方法（如AHP、TOPSIS）难以准确建模时
评价模型选择原则
根据数据类型选择：
定性数据多：AHP、模糊评价
定量数据多：熵权法、PCA、TOPSIS
根据评价目的选择：
排序优选：TOPSIS、灰色关联
效率评价：DEA
降维评价：PCA、因子分析
根据指标特性选择：
指标间相关性强：PCA、因子分析
指标独立性高：AHP、熵权法
方法对比表
| 方法 | 适用场景 | 权重确定 | 数据要求 | 主观性 | 计算复杂度 |
|---|---|---|---|---|---|
| AHP | 定性指标为主 | 主观 | 少量专家数据 | 高 | 中 |
| PCA | 高维数据降维 | 客观 | 大样本 | 无 | 高 |
| 模糊评价 | 模糊性评价 | 主客观 | 需隶属函数 | 中 | 中 |
| 熵权法 | 数据波动大的定量评价 | 客观 | 需足够变异 | 无 | 低 |
| TOPSIS | 多属性排序 | 需外赋 | 需标准化 | 低 | 中 |
| DEA | 效率评价 | 无权重 | 输入输出明确 | 无 | 高 |
| 方法 | 核心优势 | 主要局限 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| AHP | 定性指标处理能力强 | 主观性高 | 专家打分型评价 |
| PCA | 降维与去相关性 | 结果解释性差 | 高维数据预处理 |
| 模糊评价 | 处理模糊语义评价 | 隶属度构建主观 | 语言变量评价（如满意度） |
| 熵权法 | 完全客观赋权 | 忽略指标实际意义 | 数据波动大的定量评价 |
| TOPSIS | 直观接近度排序 | 权重依赖外部输入 | 多方案优选 |
| DEA | 多输入输出效率评价 | 无法排序有效单元 | 效率评估（如医院、银行） |
| 灰色关联 | 小样本计算 | 关联度区分度低 | 贫信息系统评价 |
注意事项
- 指标标准化：常用方法有极差法、Z-score法等
- 权重合理性：主观赋权需参考文献验证，客观赋权需数据支持
- 模型验证：可通过与实际案例对比验证模型有效性
- 结果解释：数学结果需结合实际意义进行合理解释
